(Oral X Mp/Mpi)
| Question a) Soient {k,N\in\mathbb N^{\star}} et {x_1,\ldots,x_k\in\mathbb R}. Montrer qu’il existe {q\in\llbracket1,N^k\rrbracket} et {p_1,\ldots,p_k\in\mathbb Z} tels que, pour tout {i\in\llbracket1,k\rrbracket} : {\left|x_i-\frac{p_i}{q}\right|\leqslant\frac1{Nq}.} |
| Question b) Soient {E} un {\mathbb C}-espace vectoriel normé de dimension finie et {u\in\mathcal L(E)}. Montrer l’équivalence entre : (i) pour tout {x\in E} et tout {\varepsilon>0}, il existe {n\in\mathbb N^{\star}} tel que {\|u^n(x)-x\|\leqslant\varepsilon} ; (ii) {u} est diagonalisable et toutes ses valeurs propres sont de module {1}. |