Inversion après perturbation de rang 1

(Oral X Mp/Mpi)

Soient ${n\in\mathbb N^{\star}}$ , ${A\in\mathrm{GL}_n(\mathbb R)}$ , ${B\in\mathcal M_n(\mathbb R)}$ de rang ${1}$ , et ${t=\operatorname{tr}(A^{-1}B)}$ .

Question a)
On suppose que

{t\neq-1}

. Montrer que

{A+B}

est inversible.

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Question b)
On suppose que

{t=-1}

. Montrer que

{A+B}

n’est pas inversible.

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