(Oral X Mp/Mpi)
Pour {n\in\mathbb N^{\star}}, on note {\mu_n} l’ensemble des racines primitives {n}-ièmes de {1} et on pose {\Phi_n=\prod_{z\in\mu_n}(X-z)}.
| Question a) Montrer que {\prod_{d\mid n}\Phi_d=X^n-1}, puis que, pour {n\in\mathbb N^{\star}}, {\Phi_n\in\mathbb Z[X]}. |
| Question b) Expliciter {\Phi_k} pour tout {k\in\llbracket1,8\rrbracket}. |
| Question c) Soit {\mu} définie par {\mu(1)=1}, {\mu(p_1\cdots p_r)=(-1)^r} si les {p_i} sont premiers distincts, et {\mu(n)=0} si {n} est divisible par le carré d’un nombre premier. Montrer que, pour {n\in\mathbb N^{\star}} : {\sum_{d\mid n}\mu(d)=\delta_{1,n}.} |
| Question d) Soient {(G,+)} un groupe abélien, {f:\mathbb N^{\star}\to G} et {F(n)=\sum_{d\mid n}f(d)}. Montrer que : {f(n)=\sum_{d\mid n}\mu(n/d)F(d).}Comment se transforme cette formule en notation multiplicative ? |
| Question e) En déduire une formule permettant de calculer {\Phi_n} pour {n\in\mathbb N^{\star}}. Expliciter {\Phi_{28}}. |
| Question f) Soit {s>1} réel. Montrer que : {\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{\mu(n)}{n^s}=\frac1{\zeta(s)},\qquad\zeta(s)=\sum_{n=1}^{+\infty}\frac1{n^s}.} |