Corps ℚ(ω), où w5=1 et w≠1

On pose ${\omega=e^{2i\pi/5}}$ .

Question a)
Déterminer le polynôme minimal de

{\omega}

dans

{\mathbb Q[X]}

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Question b)
On pose

{\mathbb K=\operatorname{Vect}_{\mathbb Q}(1,\omega,\omega^2,\omega^3)}

. Déterminer sa dimension comme

{\mathbb Q}

-espace vectoriel.

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Question c)
Montrer que

{\mathbb K}

est un corps pour les lois

{+}

{\times}

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Question d)
Donner un algorithme calculant, pour un élément non nul de

{\mathbb K}

, l’expression de son inverse dans la base

{(1,\omega,\omega^2,\omega^3)}

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Question e)
Montrer qu’il existe un unique automorphisme

{\sigma}

du corps

{\mathbb K}

tel que

{\sigma(\omega)=\omega^2}

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Question f)
Soit

{\tau}

un automorphisme du corps

{\mathbb K}

. Montrer que

{\tau=\sigma^k}

pour un

{k\in\{1,2,3,4\}}

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