Sous-groupe d’indice deux et signature

Soit ${G}$ un groupe d’ordre ${2n}$ , avec ${n}$ impair.

Question a)
Montrer que

{G}

contient un élément d’ordre

{2}

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Question b)
Montrer que

{G}

contient un sous-groupe de cardinal

{n}

Indication : considérer l’application ${\Psi}$ qui, à ${g\in G}$ , associe l’application ${h\mapsto gh}$ .

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Question c)
Dans le groupe symétrique

{\mathfrak S_4}

, on considère

{a=(1\ 2\ 3)}

{b=(1\ 2)(3\ 4)}

. Calculer

{aba^{-1}}

{bab^{-1}}

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Question d)
Le groupe alterné

{\mathfrak A_4}

contient-il un sous-groupe d’ordre

{|\mathfrak A_4|/2}

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