(Oral X Mp/Mpi)
| Question a) Montrer qu’il existe une infinité de nombres premiers congrus à {2} modulo {3}. |
| Question b) Si {(G,+)} est un groupe abélien, une partie {X} de {G} est dite sans somme s’il n’existe pas de couple {(x,y)\in X^2} tel que {x+y\in X}. Soit {p} un nombre premier de la forme {3k+2} avec {k\in\mathbb{N}^{\star}}. Montrer que {\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}} contient une partie sans somme de cardinal {k+1}. |
| Question c) Soient {A} et {B} deux parties d’un corps fini {\mathbb{K}}. Calculer {\sum_{x\in\mathbb{K}^{\star}}|A\cap xB|.} |
| Question d) Soit {A} une partie finie et non vide de {\mathbb{Z}^{\star}}. Montrer qu’il existe une partie {B} de {A} sans somme et de cardinal strictement supérieur à {|A|/3}. |