(Oral X Mp/Mpi)

Question Quels sont les morphismes de {(\mathbb{Q},+)} dans {(\mathbb{Q}^{\star},\times)} ?

Soit {f} un tel morphisme. Pour tout {x\in\mathbb{Q}}, on a : {f(x)=f(x/2)^2>0.}Fixons {x\in\mathbb{Q}} et écrivons {f(x)=u/v}, avec {u,v} entiers strictement positifs premiers entre eux.

Pour tout entier {m\geqslant1}, la relation {x=m(x/m)} donne : {f(x)=f(x/m)^m.}Si {\ell} est un nombre premier et si {v_\ell} désigne l’exposant de {\ell} dans la décomposition d’un rationnel non nul, alors : {v_\ell(f(x))=m\,v_\ell(f(x/m)).}L’entier {v_\ell(f(x))} est ainsi divisible par tout entier strictement positif. Il est donc nul.

Tous les exposants premiers de {u/v} sont nuls ; comme {u} et {v} sont premiers entre eux, on a {u=v=1}. Ainsi {f(x)=1} pour tout {x\in\mathbb{Q}}.

Réciproquement, l’application constante égale à {1} est bien un morphisme. C’est donc l’unique morphisme recherché.