(Oral Ens Mp/Mpi)
Soit {(X_n)_{n\in\mathbb N}} une suite de variables aléatoires réelles telle que : {\sup_n\mathbb E(X_n^2)\leqslant M\lt +\infty.}
| Question Montrer l’équivalence des deux propriétés suivantes : {\begin{array}{ll}(i)&\text{Pour toute }f\in\mathcal C^1(\mathbb R,\mathbb C)\\[4pt]&\text{bornée, à dérivée bornée,}\\[4pt]&\mathbb E\bigl(X_nf(X_n)-f'(X_n)\bigr)\longrightarrow0;\\[16pt](ii)&\text{Pour toute }f\in\mathcal C^0(\mathbb R,\mathbb C)\text{ bornée,}\\[4pt]&\mathbb E(f(X_n))\longrightarrow\dfrac1{\sqrt{2\pi}}\displaystyle\int_{\mathbb R}f(x)e^{-x^2/2}\mathrm{d}x.\end{array}} |