(Oral Ens Mp/Mpi)
Pour chaque {n\geqslant1}, soient {(X_{i,j}^n)_{1\leqslant i\leqslant j\leqslant n}} indépendantes de même loi, vérifiant : {\forall\,\lambda\in\mathbb R,\quad\mathbb E(e^{\lambda X_{i,j}^n})\leqslant e^{\lambda^2}.}On forme la matrice symétrique {M^n} dont les coefficients sur et au-dessus de la diagonale sont ces variables.
| Question a) Pour un vecteur unitaire {v\in\mathbb R^n} et {\alpha>0}, montrer que : {\mathbb P\left(\langle M^nv,v\rangle\geqslant\alpha\sqrt n\right)\leqslant\sqrt n\,e^{-n\alpha^2/8}.} |
| Question b) En déduire une majoration, avec grande probabilité lorsque {n} est grand, de la plus grande valeur propre de {M^n}. |