(Oral Ens Mp/Mpi)
Soit {X} une variable aléatoire réelle discrète intégrable, et {(X_k)_{k\geqslant1}} une suite indépendante de même loi. On pose : {S_n=\sum_{k=1}^nX_k,\qquad\mu=\mathbb E(X).}
| Question a) Pour {\varepsilon>0}, montrer qu’il existe {C(\varepsilon)>0} telle que, pour toute fonction strictement croissante {\varphi:\mathbb N^\star\rightarrow\mathbb N^\star} et pour {n} assez grand : {\begin{array}{l}\mathbb P\left(\left|\dfrac{S_{\varphi(n)}}{\varphi(n)}-\mu\right|\geqslant\varepsilon\right)\\[10pt]\quad\leqslant C(\varepsilon)\dfrac{\mathbb E\left(X^2\mathbf1_{|X|\leqslant\varphi(n)}\right)}{\varphi(n)}\\[12pt]\qquad+\varphi(n)\mathbb P(|X|>\varphi(n)).\end{array}} |
| Question b) Pour {\delta>0}, on pose {\varphi(n)=\lfloor(1+\delta)^n\rfloor}. Montrer que, pour tout {\varepsilon>0}, la série : {\sum_{n\geqslant1}\mathbb P\left(\left|\dfrac{S_{\varphi(n)}}{\varphi(n)}-\mu\right|\geqslant\varepsilon\right)}converge. |