(Oral Ens Mp/Mpi)
Pour une variable aléatoire réelle {X}, on considère : {\begin{array}{ll}(P_1)&\exists\,a>0,\quad\forall\,t>0,\quad\mathbb P(X>t)\leqslant e^{-at^2},\\[10pt](P_2)&\exists\,c>0,\quad\forall\,u>0,\quad\mathbb E(e^{uX})\leqslant e^{cu^2}.\end{array}}
Question a)
Pour {X} de Rademacher, montrer {(P_1)} et déterminer la meilleure constante {a}. |
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Question b)
Montrer que {(P_2)\Longrightarrow(P_1)}. |
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Question c)
Montrer que, pour {x\leqslant1} : {e^x\leqslant1+x+x^2.} |
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Question d)
Pour {X} centrée réduite, montrer : {(P_1)\Rightarrow(P_2)}. |
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