(Oral Ens Mp/Mpi)
Soit {(u,v)} une base de {\mathbb{R}^2}, et soit : {L=\left\{au+bv\mid a,b\in\mathbb Z\right\}.}Une {\mathbb Z}-base de {L} est une paire de vecteurs permettant une écriture unique de tout élément de {L} comme combinaison linéaire à coefficients entiers.
| Question a) Montrer que {L} est un sous-groupe additif de {\mathbb{R}^2} et que {(u,v)} en est une {\mathbb Z}-base. |
| Question b) Montrer que l’aire {\mathcal A} du parallélogramme formé par une {\mathbb Z}-base de {L} est indépendante de la base choisie. |
| Question c) Montrer que {\mathbb{R}^2} est la réunion disjointe des {a+\Delta}, pour {a\in L}, où : {\Delta=[0,1[u+[0,1[v.} |
| Question d) Soit {D} un polygone convexe, symétrique par rapport à l’origine, d’aire strictement supérieure à {4\mathcal A}. Montrer que {D} contient un point non nul de {L}. Indication : chercher {x\neq y} dans {D} tels que {x-y\in2L}. |