(Oral Ens Mp/Mpi)
Soit {\Omega} un ouvert connexe par arcs de {\mathbb{C}}. Pour {z_0\in\Omega}, on note {\mathcal{H}_{z_0}} l’ensemble des fonctions {f:\Omega\rightarrow\mathbb{C}} pour lesquelles existe :
{f'(z_0)=\displaystyle\lim_{z\to z_0}\dfrac{f(z)-f(z_0)}{z-z_0}.}On pose {\mathcal{H}=\bigcap_{z_0\in\Omega}\mathcal{H}_{z_0}}.
| Question a) Soit {f\in\mathcal{H}_{z_0}}. Montrer que {f} est continue puis différentiable en {z_0}, en tant que fonction de deux variables réelles. |
| Question b) Dans la suite, {\Omega=\mathbb{C}}. Soient {f\in\mathcal{H}} et {\gamma:[a,b]\rightarrow\mathbb{C}} continue et de classe {\mathcal{C}^1} par morceaux, avec {\gamma(a)=\gamma(b)}. Montrer que : {\displaystyle\int_a^bf'(\gamma(t))\gamma'(t)\mathrm{d}t=0.} |
| Question c) Pour {z\notin\gamma([a,b])}, on définit : {I(z)=\dfrac{1}{2i\pi}\displaystyle\int_a^b\dfrac{\gamma'(t)}{\gamma(t)-z}\mathrm{d}t.}Montrer que {I(z)\in\mathbb{Z}}. |
| Question d) Montrer que {I} est constante sur chaque composante connexe par arcs du complémentaire de {\gamma([a,b])}, et qu’elle est nulle sur sa composante non bornée. |