(Oral Ens Mp/Mpi)
| Question a) Montrer que : {\int_{\mathbb{R}}\dfrac{x^{2}}{x^{4}+1}\mathrm{d}x=\int_{\mathbb{R}}\dfrac{\mathrm{d}x}{x^{4}+1},}et calculer leur valeur commune. |
| Question b) Pour {t\geqslant0}, on pose : {F(t)=\int_0^{+\infty}\dfrac{e^{-(x^{2}+i)t^{2}}}{x^{2}+i}\mathrm{d}x.}Montrer que {F} est continue et déterminer sa limite en {+\infty}. |
| Question c) Montrer que {F} est de classe {\mathcal{C}^{1}} sur {\mathbb{R}_{+}^{\star}} et calculer {F'(t)}. |
| Question d) Montrer que l’intégrale {\displaystyle\int_0^{+\infty}e^{it^{2}}\mathrm{d}t} converge et calculer sa valeur. |