Calcul de l'intégrale de Gauss

On considère la fonction : ${F(x)=\int_0^{+\infty}\dfrac{e^{-xu^{2}}}{1+u^{2}}\mathrm{d}u.}$

Question a)
Montrer que

{F}

est définie et continue sur

{\mathbb{R}^{+}}

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Question b)
Montrer que

{F}

est dérivable sur

{\mathbb{R}_{+}^{\star}}

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Question c)
Déterminer la limite de

{F}

{+\infty}

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Question d)
Calculer

{\displaystyle\int_0^{+\infty}e^{-u^{2}}\mathrm{d}u}

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