(Oral Ens Mp/Mpi)
Soit {f:\mathbb{R}^{+}\rightarrow[0,1]} une fonction continue par morceaux et nulle en dehors d’un segment. Pour {p>0}, on pose : {I_f(p)=\left(p\int_0^{+\infty}t^{p-1}f(t)\mathrm{d}t\right)^{1/p}.}
| Question a) Montrer que {I_f} est constante lorsque {f=\mathbf{1}_{[0,\alpha]}}, avec {\alpha>0}. |
| Question b) On fixe {p>0}. Justifier qu’il existe {\alpha>0} tel que {I_f(p)=I_g(p)}, où {g=\mathbf{1}_{[0,\alpha]}}. |
| Question c) Montrer que, pour tout {x\geqslant0} : {\int_x^{+\infty}t^{p-1}f(t)\mathrm{d}t\geqslant\int_x^{+\infty}t^{p-1}g(t)\mathrm{d}t.} |
| Question d) Soit {q>p}. En déduire que : {\int_0^{+\infty}t^{q-1}f(t)\mathrm{d}t\geqslant\int_0^{+\infty}t^{q-1}g(t)\mathrm{d}t.} |
| Question e) Conclure que {I_f} est croissante. |