(Oral Ens Mp/Mpi)
Soient {I} un intervalle de {\mathbb{R}} et {t_0\in I}.
| Question a) Soient {f\in\mathcal{C}^{\infty}(I,\mathbb{R})} et {k\in\mathbb{N}^{\star}}. On suppose que : {\begin{array}{l}f^{(j)}(t_0)=0\quad\text{pour }0\leqslant j\lt k,\\[6pt]f^{(k)}(t_0)\neq0.\end{array}}Montrer qu’il existe {g\in\mathcal{C}^{\infty}(I,\mathbb{R})}, avec {g(t_0)\neq0}, telle que : {f(t)=(t-t_0)^{k}g(t).} |
| Question b) Soient {n\geqslant2} et {\gamma\in\mathcal{C}^{\infty}(I,\mathbb{R}^{n})}. On suppose que : {\operatorname{Vect}\left\{\gamma^{(j)}(t_0),\ j\in\mathbb{N}\right\}=\mathbb{R}^{n}.}Montrer qu’il existe une base {(e_1,\ldots,e_n)}, des fonctions {g_i\in\mathcal{C}^{\infty}(I,\mathbb{R})} vérifiant {g_i(t_0)\neq0}, et des entiers {0\leqslant k_1\lt\cdots\lt k_n} tels que : {\gamma(t)=\sum_{i=1}^{n}g_i(t)(t-t_0)^{k_i}e_i.} |
| Question c) En déduire qu’il existe un voisinage {V} de {t_0} dans {I} tel que, pour tout {t\in V\setminus\{t_0\}}, la famille : {\left(\gamma(t),\gamma'(t),\ldots,\gamma^{(n-1)}(t)\right)}soit une base de {\mathbb{R}^{n}}. |