(Oral Ens Mp/Mpi)
Soient {A\in\mathrm{GL}_n(\mathbb{R})} et {x,b\in\mathbb{R}^n} tels que {Ax=b}.
| Question a) Pour la norme euclidienne {\lVert\cdot\rVert_2}, on pose : {\lVert M\rVert_{\mathrm{op}}=\sup_{\lVert y\rVert_2=1}\lVert My\rVert_2.}Montrer que cette expression est une norme sur {\mathcal{M}_n(\mathbb{R})} et que : {\lVert My\rVert_2\leqslant\lVert M\rVert_{\mathrm{op}}\lVert y\rVert_2.} |
| Question b) Soient {\delta b,\delta x\in\mathbb{R}^n} tels que {A(x+\delta x)=b+\delta b}. Pour {x\neq0}, montrer que : {\frac{\lVert\delta x\rVert_2}{\lVert x\rVert_2}\leqslant\lVert A\rVert_{\mathrm{op}}\lVert A^{-1}\rVert_{\mathrm{op}}\frac{\lVert\delta b\rVert_2}{\lVert b\rVert_2}.} |
| Question c) Montrer que : {\operatorname{Cond}(A)=\lVert A\rVert_{\mathrm{op}}\lVert A^{-1}\rVert_{\mathrm{op}}\geqslant1.} |
| Question d) Si {A} est symétrique, montrer que : {\operatorname{Cond}(A)=\frac{\max_{\lambda\in\operatorname{Sp}(A)}|\lambda|}{\min_{\lambda\in\operatorname{Sp}(A)}|\lambda|}.} |
| Question e) Calculer le conditionnement de la matrice tridiagonale dont la diagonale vaut {2}, les deux diagonales voisines valent {-1} et les autres coefficients sont nuls. |