(Oral Ens Mp/Mpi)
On fixe {\nu\geqslant1}. On note {E_\nu} l’ensemble des suites complexes indexées par {\mathbb{Z}} telles que : {\lVert u\rVert=\sum_{k\in\mathbb{Z}}|u_k|\nu^{|k|}\lt+\infty.}On admet que cette expression définit une norme.
| Question a) Montrer que, pour {u,v\in E_\nu}, la convolution : {(u\star v)_n=\sum_{k\in\mathbb{Z}}u_{n-k}v_k}est bien définie et appartient à {E_\nu}. |
| Question b) Pour {u\in E_\nu}, montrer que {M_u:v\mapsto u\star v} est un endomorphisme continu de {E_\nu}. |
| Question c) Pour {L\in\mathcal{L}_c(E_\nu)}, on pose : {\lVert L\rVert_{\mathrm{op},\nu}=\sup_{v\neq0}\frac{\lVert L(v)\rVert}{\lVert v\rVert}.}Montrer que cette expression définit une norme. Comparer {\lVert M_u\rVert_{\mathrm{op},\nu}} à {\lVert u\rVert}. |
| Question d) Montrer que {M_u} est bijectif si et seulement si {u} est inversible pour la convolution. |