(Oral Ens Mp/Mpi)
Soient {m,n\in\mathbb{N}^\star} et {A\in\mathcal{M}_{m,n}(\mathbb{R})}.
| Question a) Montrer que l’on peut écrire : {\chi_{A^TA}(X)=X^{n-r}\prod_{i=1}^{r}(X-\sigma_i^2),}où {\sigma_1\geqslant\cdots\geqslant\sigma_r>0}. |
| Question b) On pose {D=\operatorname{diag}(\sigma_1,\ldots,\sigma_r)}. Montrer qu’il existe {U\in\mathcal{O}_m(\mathbb{R})} et {V\in\mathcal{O}_n(\mathbb{R})} telles que : {U^TAV=\begin{pmatrix}D&0\\0&0\end{pmatrix}.} |