(Oral Ens Mp/Mpi)
Soit {P\in\mathbb{R}[X]} unitaire de degré {n}. On écrit : {P=\prod_{i=1}^{n}(X-\alpha_i),}où les racines complexes sont comptées avec multiplicité. On pose : {s_k=\sum_{i=1}^{n}\alpha_i^k,\qquad S=(s_{i+j-2})_{1\leqslant i,j\leqslant n}.}
| Question a) Montrer que {S} est la matrice d’un produit scalaire si et seulement si {P} est scindé à racines simples dans {\mathbb{R}[X]}. |
| Question b) Plus généralement, déterminer le nombre de valeurs propres négatives de {S} en fonction de la factorisation de {P}. |