(Oral Ens Mp/Mpi)
| Question a) Pour {A,B,C\in\mathcal{M}_n(\mathbb{R})}, montrer les identités et l’inégalité suivantes : {\begin{array}{l}\det\begin{pmatrix}A&B\\0&C\end{pmatrix}=\det A\det C,\\[14pt]\det\begin{pmatrix}A&B\\B&A\end{pmatrix}=\det(A-B)\det(A+B),\\[14pt]\det\begin{pmatrix}A&-B\\B&A\end{pmatrix}\geqslant0.\end{array}} |
| Question b) Le but de l’exercice est de montrer que, pour {A,B\in\mathcal{S}_n(\mathbb{R})}, l’égalité {AB=0} équivaut à : {\begin{array}{c}\forall\,(x,y)\in\mathbb{R}^2,\\[6pt]\det(I_n-xA-yB)\\[4pt]\qquad=\det(I_n-xA)\det(I_n-yB).\end{array}}Montrer le sens direct. |
| Question c) Soient {M\in\mathcal{S}_n^+(\mathbb{R})} et {N\in\mathcal{S}_n(\mathbb{R})} telles que {\det(M-tN)=0} pour tout {t\in\mathbb{R}}. Montrer que : {\ker M\cap\ker N\neq\{0\}.} |
| Question d) Sous l’hypothèse de l’identité déterminantielle de la question b), montrer qu’il existe un vecteur propre de {A} appartenant au noyau de {B}. |
| Question e) Conclure. |