(Oral Ens Mp/Mpi)
Soit {E} un espace euclidien de dimension {n}.
| Question a) Soit {S\subset E} un ensemble fini de cardinal au moins {n+2}. Montrer qu’il existe une partition de {S} en deux ensembles {A,B} tels que : {\operatorname{Conv}(A)\cap\operatorname{Conv}(B)\neq\varnothing.} |
| Question b) Soient {N\geqslant n+1} et {K_1,\ldots,K_N} des parties convexes de {E}. On suppose que toute sous-famille de {n+1} de ces parties a une intersection non vide. Montrer que : {\bigcap_{j=1}^{N}K_j\neq\varnothing.} |
| Question c) Soient {R,B} deux parties finies non vides de {E}. Elles sont dites strictement séparables s’il existe un hyperplan d’équation {\langle x,a\rangle=b} tel que : {\begin{array}{ll}\langle y,a\rangle\lt b&\text{pour tout }y\in R,\\[6pt]\langle z,a\rangle>b&\text{pour tout }z\in B.\end{array}}On suppose que, pour toute partie finie {S\subset E} de cardinal {n+2}, les ensembles {R\cap S} et {B\cap S} sont strictement séparables. Montrer que {R} et {B} sont strictement séparables. |