(Oral Ens Mp/Mpi)
On munit {\mathbb{R}[X]} du produit scalaire : {\langle P,Q\rangle=\int_0^1P(t)Q(t)\mathrm{d}t.}
| Question a) Montrer qu’il existe une suite orthonormée {(P_n)_{n\in\mathbb{N}}} telle que {\deg P_n=n} pour tout {n}. |
| Question b) Soit {n\in\mathbb{N}^\star}. Montrer que {P_n} possède {n} racines simples, toutes situées dans {]0,1[}. |
| Question c) On fixe {n\in\mathbb{N}^\star} et l’on note {\alpha_1,\ldots,\alpha_n} les racines de {P_n}. Montrer que les formes linéaires {R\mapsto R(\alpha_i)} constituent une base du dual de {\mathbb{R}_{n-1}[X]}. |
| Question d) Montrer qu’il existe des réels {\lambda_1,\ldots,\lambda_n} tels que, pour tout {P\in\mathbb{R}_{2n-1}[X]} : {\int_0^1P(t)\mathrm{d}t=\sum_{i=1}^{n}\lambda_iP(\alpha_i).}Donner une expression de {\lambda_i} ainsi que son signe. |