(Oral Ens Mp/Mpi)
Soit {A\in\mathcal{M}_m(\mathbb{R})} à coefficients positifs ou nuls. Pour chaque {i}, on pose : {d_i=\gcd\{k\geqslant1:(A^k)_{i,i}>0\}}Les ensembles dont on prend le pgcd sont supposés non vides.
| Question a) On suppose qu’il existe {k\in\mathbb{N}} tel que tous les coefficients de {A^k} soient strictement positifs. Montrer que {d_1=1}. |
| Question b) On suppose que, pour tous {i,j}, il existe {k\in\mathbb{N}} tel que {(A^k)_{i,j}>0}. Montrer que tous les {d_i} sont égaux. |
| Question c) Sous l’hypothèse de b), montrer que {d_1=1} entraîne l’existence d’une puissance de {A} dont tous les coefficients sont strictement positifs. |