(Oral Ens Mp/Mpi)
Soient {P\in\mathbb{Z}[X]} et {a\in\mathbb{Z}}.
| Question a) Montrer qu’il existe {Q\in\mathbb{Z}[X]} tel que : {P(X+a)=P(a)+P'(a)X+X^2Q(X)} |
| Question b) Soient {b\in\mathbb{Z}} et {p} premier. Montrer, pour {k\geqslant1}, que : {P(a+bp^k)\equiv P(a)+P'(a)bp^k\pmod{p^{k+1}}} |
| Question c) Soit {x\in\mathbb{Z}} tel que {P(x)\equiv0\pmod p} et {P'(x)\not\equiv0\pmod p}. Montrer qu’il existe une suite {(x_k)_{k\geqslant1}} d’entiers telle que : {\begin{array}{l}P(x_k)\equiv0\pmod{p^{k+1}},\\[6pt]x_k\equiv x\pmod p.\end{array}} |
| Question d) Résoudre {5x^3+x^2-1=0} dans {\mathbb{Z}/125\mathbb{Z}}. |