(Oral Ens Mp/Mpi)
Un nombre complexe est un entier algébrique s’il annule un polynôme unitaire de {\mathbb{Z}[X]}.
| Question a) Montrer que l’ensemble des entiers algébriques est un sous-anneau de {\mathbb{C}}. |
| Question b) On appelle unité tout élément inversible de l’anneau des entiers algébriques. Soit {q} une racine primitive {n}-ième de l’unité et {m\geqslant2} un entier premier avec {n}. Montrer que : {\dfrac{q^m-1}{q-1}}est une unité. |
| Question c) Montrer qu’un nombre complexe est une unité si et seulement s’il annule un polynôme unitaire {P\in\mathbb{Z}[X]} tel que {P(0)=\pm1}. |