(Oral Ens Mp/Mpi)
Un anneau intègre {A} est dit euclidien s’il existe {N:A\setminus\{0\}\rightarrow\mathbb{N}} tel que, pour tous {a\in A} et {b\neq0}, on puisse écrire {a=bq+r}, avec {r=0} ou {N(r)\lt N(b)}.
| Question a) Montrer que {\mathbb{Z}[i]=\{a+ib,\;a,b\in\mathbb{Z}\}} est euclidien. |
| Question b) Énoncer un théorème d’existence et d’unicité de décomposition en facteurs irréductibles dans {\mathbb{Z}[i]}. |
| Question c) Montrer que, pour tout {\varepsilon>0}, le nombre de couples {(a,b)\in\mathbb{Z}^2} tels que {a^2+b^2=R^2} est {O(R^\varepsilon)} lorsque {R\rightarrow+\infty}. |