(Oral X Mp/Mpi)
Pour {d\in\mathbb N}, on note {\mathbb R_d[X]} l’espace des polynômes réels de degré au plus {d}.
| Question a) Montrer l’existence de {C_d>0} telle que, pour tout {P\in\mathbb R_d[X]} : {|P(0)|\leqslant C_d\int_{-1}^1|P(x)|\,dx.} |
| Question b) Que peut-on dire de {C_d} lorsque {d\to+\infty} ? |
| Question c) Montrer l’existence de {K_d>0} telle que, pour tout {P\in\mathbb R_d[X]} : {|P(0)|\leqslant K_d\left(\int_{-1}^1|P(x)|^2\,dx\right)^{1/2}.}Donner une minoration asymptotique de {K_d} en utilisant {(1-X^2)^q}. |
| Question d) On pose, pour {n\in\mathbb N}, {L_n=\dfrac{d^n}{dx^n}((1-x^2)^n)}. Montrer que la famille {(L_n)_{n\geqslant0}} est orthogonale pour le produit scalaire {\langle f,g\rangle=\int_{-1}^1fg}. |
| Question e) En déduire une expression de {K_d}. |