(Oral X Mp/Mpi)
On se donne un {\mathbb C}-espace vectoriel {E} de dimension finie.
| Question a) Soit {u\in GL(E)}. Montrer que {u^{-1}} est un polynôme en {u}. |
| Question b) Soit {u\in\mathcal L(E)}, de valeurs propres distinctes {\lambda_1,\ldots,\lambda_p}. Posons {P=\prod_{k=1}^p(X-\lambda_k)}. Montrer que l’on peut définir une suite {(u_n)_{n\in\mathbb N}} telle que {u_0=u} et, pour tout {n\in\mathbb N} : (i) {P(u_n)=P(u)^{2^n}v_n} pour un certain polynôme {v_n} en {u} ; (ii) {P'(u_n)} est inversible ; (iii) {u_{n+1}=u_n-P(u_n)P'(u_n)^{-1}}. |