(Oral X Mp/Mpi)
Pour deux fonctions dérivables, on pose {Z(f,g)=fg'-f'g}. Soient {r\geqslant2} et {f_1,\ldots,f_r\in\mathbb R[X]} n’ayant aucune racine commune, avec {f_i(0)=1}. On pose {f_0=f_{r+1}=1}.
| Question a) Soit {i\in\{1,\ldots,r\}}. Montrer qu’il existe une unique fonction dérivable {\widehat f_i}, définie au voisinage de zéro, telle que {Z(\widehat f_i,f_i)=f_{i-1}f_{i+1}} et : {\widehat f_i(x)=1+(f_i'(0)-1)x+O(x^2).} |
| Question b) Donner une condition nécessaire et suffisante pour que {\widehat f_i} admette un prolongement continu à {\mathbb R}. |
| Question c) Donner une condition nécessaire et suffisante pour que {\widehat f_i} admette un prolongement dérivable à {\mathbb R}. |