(Oral X Mp/Mpi)
| Question a) Soient {\varphi_1,\ldots,\varphi_n,\varphi} des formes linéaires sur un espace vectoriel {E} de dimension finie. Montrer que {\varphi} est combinaison linéaire des {\varphi_i} si et seulement si {\bigcap_{i=1}^n\ker\varphi_i\subset\ker\varphi}. |
| Question b) Pour {n\in\mathbb N}, on note {L_n=D^n((X^2-1)^n)}. Montrer que {\int_{-1}^1P(t)L_n(t)\,dt=0} pour tout {P\in\mathbb R_{n-1}[X]}. |
| Question c) On admet temporairement que {L_n} admet {n} racines distinctes {x_1\lt \cdots\lt x_n} dans {]-1,1[}. Montrer qu’il existe des réels {\alpha_1,\ldots,\alpha_n} strictement positifs tels que, pour tout {P\in\mathbb R_{2n-1}[X]} : {\int_{-1}^1P(t)\,dt=\sum_{k=1}^n\alpha_kP(x_k).} |
| Question d) Démontrer que {L_n} admet {n} racines distinctes dans {]-1,1[}. |