(Oral X Mp/Mpi)
Soit {(G,\cdot)} un groupe de cardinal {p^a m}, avec {p} premier, {a\in\mathbb N^{\star}}, {m\geqslant2} et {\operatorname{pgcd}(p,m)=1}. Soit {E} une partie de {G} de cardinal {p^a}. On pose : {G_E=\{g\in G:gE=E\},\qquad\mathcal O_E=\{gE:g\in G\}.}
| Question a) Montrer que {G_E} est un sous-groupe de {G} de cardinal inférieur ou égal à {p^a}. |
| Question b) Montrer que {|G|=|G_E|\,|\mathcal O_E|}. |
| Question c) Montrer l’équivalence entre : {\begin{array}{ll}\mathrm{i)}&p\nmid|\mathcal O_E|,\\[4pt]\mathrm{ii)}&|G_E|=p^a,\\[4pt]\mathrm{iii)}&|\mathcal O_E|=m.\end{array}} |
| Question d) On note {X} l’ensemble des parties de {G} de cardinal {p^a}. Déterminer le cardinal de {X}. Montrer que {p} ne divise pas {|X|}. |
| Question e) Montrer que {G} possède un sous-groupe de cardinal {p^a}. |