(Oral Ens Mp/Mpi)
Soit {f\in\mathcal{C}^{0}([0,1],\mathbb{R})}. Pour {n\geqslant1}, on définit le polynôme de Bernstein : {B_n(f)(x)=\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}f\left(\dfrac{k}{n}\right)x^{k}(1-x)^{n-k}.}
| Question a) Montrer que {B_n(f)} converge uniformément vers {f} sur {[0,1]}. |
| Question b) Soit {\alpha\in]0,1]}. On suppose qu’il existe {C>0} tel que : {\forall\,x,y\in[0,1],\quad |f(x)-f(y)|\leqslant C|x-y|^\alpha.}Montrer que : {\lVert B_n(f)-f\rVert_\infty=O(n^{-\alpha/2}).} |