(Oral Ens Mp/Mpi)
Soient {(X_n)_{n\geqslant1}} des variables réelles indépendantes de même loi, intégrables, et {N} une variable à valeurs dans {\mathbb N}, d’espérance finie. On pose : {S_0=0,\qquad S_n=\sum_{k=1}^nX_k.}
| Question générale Les hypothèses suffisent-elles à garantir que {S_N} est intégrable ? |
| Question a) Étudier le cas où {N} est indépendante de la suite {(X_n)}. |
| Question b) Étudier le cas où il existe {\lambda>0} tel que {\mathbb E(e^{\lambda|X_1|})\lt +\infty}, sans supposer {N} indépendante de la suite {(X_n)}. |