(Oral Ens Mp/Mpi)
Soient {u_1,\ldots,u_m} des vecteurs unitaires de {\mathbb{R}^n} et {c_1,\ldots,c_m>0}. On suppose : {\sum_{i=1}^{m}c_iu_iu_i^T=I_n.}
| Question a) Soient {\theta_1,\ldots,\theta_m\in\mathbb{R}} et {X=\sum_{i=1}^{m}c_i\theta_iu_i}. Montrer : {\begin{array}{ll}\mathrm{(i)}&\lVert X\rVert^2=\displaystyle\sum_{i=1}^{m}c_i\langle X,u_i\rangle^2,\\[12pt]\mathrm{(ii)}&\lVert X\rVert^2\leqslant\displaystyle\sum_{i=1}^{m}c_i\theta_i^2.\end{array}} |
| Question b) Soit {A\in\mathcal{S}_n(\mathbb{R})}. Montrer que : {\det A\leqslant\prod_{i=1}^{m}\lVert Au_i\rVert^{c_i}.} |
| Question c) Montrer la même inégalité pour {A\in\mathcal{M}_n(\mathbb{R})}. |
| Question d) Soit {M\in\mathcal{S}_n^{++}(\mathbb{R})}. Montrer qu’il existe {A\in\mathrm{SL}_n(\mathbb{R})} telle que : {\det(M)^{1/n}=\frac1n\operatorname{tr}(A^TAM).} |