(Oral Ens Mp/Mpi)
Soit {A\in\mathcal{M}_n(\mathbb{R})}. Pour {X\in\mathbb{R}^n}, on note {|X|} le vecteur des valeurs absolues de ses coordonnées et on pose {\delta_A(X)=|AX|}.
Chaque ligne de {A} contient exactement un coefficient égal à {1}, un coefficient égal à {-1}, et tous les autres sont nuls. On suppose qu’une puissance de {A} a tous ses coefficients pairs.
| Montrer que, pour tout {X\in\mathbb{Z}^n}, la suite {(\delta_A^k(X))_{k\geqslant0}} est stationnaire de valeur ultime {0}. |