2026-X-Ens-Psi-Corrigé

X-ENS — PSI — 2026

Notations et objectif

On fixe {n\geq1}. Les matrices sont réelles ; {I_n} est l’identité, {\ker A} et {\operatorname{Im}A} sont le noyau et l’image de l’application matricielle. On note {{}^{\mathsf T}A} la transposée et on identifie une matrice de taille {1} à son coefficient.

Les espaces de vecteurs lignes ou colonnes sont munis du produit scalaire canonique et de la norme euclidienne {\|\cdot\|}.

Pour {x=(x_1,\ldots,x_n)}, on note {X=x^{\mathsf T}} le vecteur colonne associé. Le gradient {\nabla f(x)} est considéré comme un vecteur ligne.

On pose {S(f)=\{x\in\mathbb R^n:\nabla f(x)=0\}.}L’ensemble {\mathcal E} est constitué des fonctions caractérisées par un couple {(M,B)}, où {M} est symétrique et {B} un vecteur colonne, selon {f(x)=\frac12X^{\mathsf T}MX-B^{\mathsf T}X.\tag{F}}On note {\mathcal E_0} celles de ces fonctions qui sont minorées et on définit {Tf(x)=\frac12\|\nabla f(x)\|^2-\frac12\|\nabla f(0)\|^2.}L’objectif est de démontrer dans certains cas le théorème suivant : si deux fonctions convexes minorées de classe {\mathcal C^2} ont des gradients de même norme en tout point, leur différence est constante.

Partie I — Convexité et fonctions minorées

Une fonction est convexe si, pour tous {x,y\in\mathbb R^n} et {0\leq\lambda\leq1}, {f((1-\lambda)x+\lambda y)\leq(1-\lambda)f(x)+\lambda f(y).}Pour la question 1, {f} est convexe et de classe {\mathcal C^1}.

Pour la question 2, {f} est seulement supposée minorée et de classe {\mathcal C^1}. Pour {\varepsilon>0}, on pose {f_\varepsilon(x)=f(x)+\varepsilon\sqrt{\|x\|^2+1}}.

Partie II — Dimension un

Pour la question 3, {f_1,f_2:\mathbb R\to\mathbb R} sont de classe {\mathcal C^1}, convexes, minorées, et vérifient {(f_1')^2-(f_2')^2=c}, où {c} est constant.

Pour la question 4, {g:\mathbb R\to\mathbb R} est de classe {\mathcal C^2}, minorée, et {R=(g')^2} est supposée convexe. On veut établir la convexité de {g}.

Partie III — Fonctions quadratiques

Pour la question 6, {f\in\mathcal E} est caractérisée par {(M,B)} avec {M} symétrique.

Partie IV — Un cas plus général

Les fonctions {f,g:\mathbb R^n\to\mathbb R} sont de classe {\mathcal C^1}, convexes et minorées. La différence {\|\nabla f\|^2-\|\nabla g\|^2} est constante, {f+g\in\mathcal E} et {S(f)\neq\varnothing}.

On pose {h=f+g}, {\psi=f-g}, et on note {(M,B)} le couple caractérisant {h}. On écrit {\inf h=\inf_{x\in\mathbb R^n}h(x)}.

Pour la question 14, {y=(y_1,\ldots,y_n):[0,+\infty[\to\mathbb R^n} est de classe {\mathcal C^1} et {\int_0^{+\infty}\|y'(t)\|^2\,dt} converge.

Pour la suite, {Y(t)=y(t)^{\mathsf T}} est une solution de classe {\mathcal C^1} sur {[0,+\infty[} du système {Y'(t)=-MY(t)+B.\tag{E_1}}