2026-X-Ens-Pc-Corrigé

X-ESPCI-ENS 2026 — PC — Mathématiques

Modèles de matériaux ferromagnétiques

Le matériau est modélisé par des petits aimants de valeurs {+1} ou {-1}. Une configuration reçoit un poids exponentiel déterminé par une fonction d’énergie. Le sujet étudie l’influence des paramètres de ce modèle.

On utilise le produit scalaire usuel {\lambda\cdot x} de {\mathbb R^d}. Une fonction {f} est convexe si {f(\alpha x+(1-\alpha)y)\leq\alpha f(x)+(1-\alpha)f(y)} pour {0\leq\alpha\leq1}. On note {\operatorname{ch}x=(e^x+e^{-x})/2}, {\operatorname{sh}x=(e^x-e^{-x})/2} et {\operatorname{th}x=\operatorname{sh}x/\operatorname{ch}x}. La formule de Stirling {n!\sim\sqrt{2\pi n}(n/e)^n} est rappelée.

Première partie

Soit {X=(X_1,\ldots,X_d)} une variable aléatoire à valeurs dans un ensemble fini de {\mathbb R^d}. On pose {\varphi(\lambda)=\ln\mathbb E(e^{\lambda\cdot X})}.

Deuxième partie

Les variables {(\sigma_i)_{i\geq1}} sont mutuellement indépendantes et prennent les valeurs {1,-1} avec probabilité {1/2}. On note {X^{(N)}=(\sigma_1,\ldots,\sigma_N)}.

Pour {a=(a_1,\ldots,a_N)} et {\beta,h\in\mathbb R}, on pose {H_N(\beta,h,a)=\beta\sum_{i=1}^{N-1}a_ia_{i+1}+\beta a_Na_1+h\sum_{i=1}^Na_i,}puis {Z_N(\beta,h)=\mathbb E(e^{H_N(\beta,h,X^{(N)})})} et {F_N(\beta,h)=N^{-1}\ln Z_N(\beta,h)}.

Pour les quatre questions suivantes, on fixe {\beta\geq0} et {h\in\mathbb R}.

Troisième partie

Les spins ont la même loi indépendante que précédemment. On pose {S_N=\frac1N\sum_{i=1}^N\sigma_i,\ \mathcal M_N=\left\{-1\!+\!2\frac kN:0\!\leq\! k\!\leq\! N\!\right\}}Pour {\beta\geq0}, {h\in\mathbb R}, on définit {Y_N(\beta,h)=\mathbb E(e^{\beta NS_N^2+hNS_N}),\;G_N=N^{-1}\ln Y_N}

Enfin, sur {]-1,1[}, l’énoncé pose {I(x)=\frac{1+x}{2}\ln\frac{1+x}{2}+\frac{1-x}{2}\ln\frac{1-x}{2}.}

L’énoncé admet {G_N(\beta,h)\to g(\beta,h)} avec {g(\beta,h)=\sup_{x\in[-1,1]}(\beta x^2+hx-I(x)).}La correction nécessaire de cette affirmation est établie dans la réponse à Q22. On conserve cette définition de {g} pour la suite. On pose {\psi_{\beta,h}(x)=\beta x^2+hx-I(x)} sur {[-1,1]}.

On admet désormais que, pour chaque {\beta\geq0}, la fonction {h\mapsto x^*(\beta,h)} est continue sur {[0,+\infty[}, avec le choix positif de Q25 lorsque {\beta>1/2} et {h=0}.

La quantité {x^*(\beta,h)} s’interprète comme une magnétisation. La différence entre les régimes {\beta\leq1/2} et {\beta>1/2} met en évidence l’apparition d’une magnétisation spontanée : la limite à champ positif tendant vers zéro est nulle dans le premier cas, strictement positive dans le second.