2026-X-Ens-MpA-Corrigé

X-ENS 2026 — MP-MPI — Mathématiques A

Préambule et notations

Sur {\mathbb C^n}, on utilise le produit hermitien {\langle x\mid y\rangle=\sum\limits_{i=1}^nx_i\overline{y_i}}, linéaire en la première variable et semi-linéaire en la seconde, et la norme {\|x\|=\sqrt{\langle x\mid x\rangle}}. On admet ses propriétés usuelles et l’inégalité de Cauchy-Schwarz.

Pour une matrice {A}, {A^*=\overline A^{\mathsf T}} est son adjointe ; on a {\langle Ax\mid y\rangle=\langle x\mid A^*y\rangle}. Une matrice est unitaire si {A^*A=I_n}, hermitienne si {A^*=A}.

On note {\mathbb D(c,r)=\{z:|z-c|\leq r\}} et {\partial\mathbb D(c,r)=\{z:|z-c|=r\}}. La norme subordonnée et le conditionnement sont définis par {\begin{array}{l}|||A|||=\displaystyle\sup_{\|x\|=1}\|Ax\|,\\[8pt]\operatorname{cond}(P)=|||P|||\,|||P^{-1}|||.\end{array}}On admet que la première expression définit une norme. Pour alléger les calculs dans les réponses, cette même norme sera notée {\|A\|_{\mathrm{op}}}.

On admet et on utilisera le théorème de réduction suivant : toute matrice unitaire, respectivement hermitienne, est diagonalisable dans une base orthonormale, ses valeurs propres étant de module {1}, respectivement réelles.

Pour {p\in\mathbb C[X]} et un compact non vide {S\subset\mathbb C}, on note {\|p\|_S=\sup\limits_{z\in S}|p(z)|}. On cherche à majorer {\|p(A)\|_{\mathrm{op}}} par de telles quantités. On fixe {n\geq1}.

Préliminaires

A — Principe du maximum pour les polynômes

On note {\mathbb D=\mathbb D(0,1)} et {\partial\mathbb D=\partial\mathbb D(0,1)}. Soit {p} de degré {n-1}, avec {n\geq2}, et {z\in\mathbb D}. On pose {s=\sqrt{1-|z|^2}}.

La matrice {U} a pour première ligne {(z,s,0,\ldots,0)}, pour dernière ligne {(s,-\overline z,0,\ldots,0)}, et pour lignes intermédiaires les vecteurs lignes ayant un {1} en colonne {3,4,\ldots,n}, respectivement, et des {0} ailleurs. On note {e_1} le premier vecteur canonique.

B — Inégalité de von Neumann

On suppose que {A} est une contraction, c’est-à-dire {\|A\|_{\mathrm{op}}\leq1}. On veut montrer {\|p(A)\|_{\mathrm{op}}\leq\|p\|_{\mathbb D}}.

C — Hausdorffien et rayon numérique

Le Hausdorffien de {A} est {\mathcal H(A)=\{\langle Ax\mid x\rangle:\|x\|=1\}.}

On définit le rayon numérique par {r(A)=\max\limits_{z\in\mathcal H(A)}|z|}.

On veut néanmoins établir {r(A^k)\leq r(A)^k} pour tout {k\in\mathbb N}. Pour {k\geq1}, on pose {\omega_k=e^{2i\pi/k}}.

D — Conjecture de Crouzeix

Le sujet énonce la conjecture suivante : pour toute matrice {A} et tout polynôme {p}, {\|p(A)\|_{\mathrm{op}}\leq2\|p\|_{\mathcal H(A)}.\tag{1}}

On admet le résultat d’Okubo et Ando : si {r(B)\leq1}, il existe une matrice inversible {X} telle que {\operatorname{cond}(X)\leq2} et {X^{-1}BX} soit une contraction.