2026-Mines-Mp2-Corrigé

Mines-Ponts 2026 — MP — Mathématiques II

Autour de {\mathrm O_n(\mathbb R)} et {\mathrm{SL}_n(\mathbb R)}

On fixe {n\geq2}. On note {\mathrm O_n(\mathbb R)=\{M:M^{\mathsf T}M=I_n\}}, {\mathrm{SL}_n(\mathbb R)=\{M:\det M=1\}} et {\mathrm{SO}_n(\mathbb R)=\mathrm O_n(\mathbb R)\cap\mathrm{SL}_n(\mathbb R)}. L’espace {E=\mathbb R^n} est muni de sa norme euclidienne usuelle. La notation {\operatorname{Sp}_{\mathbb C}(M)} désigne le spectre complexe.

I — Quelques propriétés de {\mathrm O_n(\mathbb R)}

Soit {\mathcal G} un sous-groupe compact de {\mathrm{GL}_n(\mathbb R)} contenant {\mathrm O_n(\mathbb R)}.

II — Calcul différentiel sur {\mathrm O_n(\mathbb R)} et {\mathrm{SL}_n(\mathbb R)}

On note {\mathcal T} l’ensemble des matrices {H} pour lesquelles il existe une courbe {\gamma:]-\varepsilon,\varepsilon[\to\mathrm O_n}, dérivable en {0}, telle que {\gamma(0)=I_n} et {\gamma'(0)=H}.

On pose {g(M)=\operatorname{tr}(M^{\mathsf T}M)}, carré de la norme euclidienne usuelle sur les matrices.

III — Morphismes continus de {\mathbb U} dans {\mathrm{GL}_n(\mathbb R)}

On note {\mathbb U=\{z\in\mathbb C:|z|=1\}}. Soit {\varphi:\mathbb U\to\mathrm{GL}_n(\mathbb R)} un morphisme de groupes continu.

IV — Morphismes de {(\mathbb R,+)} dans {(\mathrm{GL}_n(\mathbb R),\times)}

On reprend les notations et les hypothèses de la partie précédente, en particulier la périodicité de {\Psi(x)=\varphi(e^{ix})}.