2026-Mines-Mp1-Corrigé

Mines-Ponts 2026 — MP — Mathématiques I

Équation d’Euler-Lagrange et quelques applications

Toutes les fonctions considérées sont réelles. Dans les espaces fonctionnels du sujet, on utilise la norme uniforme. Un extremum local de {T} en {x_0} signifie que, dans un voisinage de {x_0} relatif à son domaine, {T(x)-T(x_0)} garde un signe constant.

I — Lemme fondamental du calcul variationnel

Soient {a\lt b} et {f\in\mathcal C([a,b],\mathbb R)} tels que {\int_a^bf(x)h(x)\,dx=0} pour toute fonction {h\in\mathcal C^\infty([a,b])} vérifiant {h(a)=h(b)=0}. On veut montrer que {f=0}.

On définit {\varphi} sur {\mathbb R} par {\varphi(x)=\begin{cases}e^{-1/x}&\text{si }x>0,\\[8pt]0&\text{si }x\leq0.\end{cases}}

II — Équation d’Euler-Lagrange

Soient {U,V} des ouverts non vides de {\mathbb R}, {x_A\lt x_B} et {y_0,y_1\in U}. La fonction {f} est continue sur {[x_A,x_B]\times U\times V} et de classe {\mathcal C^2} sur {]x_A,x_B[\times U\times V}.

On note {\mathcal C} l’ensemble des fonctions {y\in\mathcal C^2([x_A,x_B])} telles que {y(x_A)=y_0}, {y(x_B)=y_1}, {y(x)\in U} et {y'(x)\in V}. On pose {T(y)=\int_{x_A}^{x_B}f(x,y(x),y'(x))\,dx.}

On suppose que {T} admet un extremum local en {z_0\in\mathcal C}. Soit {\eta\in\mathcal C^2([x_A,x_B])} nulle aux extrémités. On pose {y_\varepsilon=z_0+\varepsilon\eta}.

Pour {|\varepsilon|\lt \alpha}, on pose {\Phi(\varepsilon)=T(y_\varepsilon)}.

III — Le chemin le plus court est la ligne droite

Dans le plan euclidien, soient {A(x_A,y_A)} et {B(x_B,y_B)}, avec {x_A\lt x_B}. Pour {g\in\mathcal C^1([x_A,x_B])} joignant ces points, on définit {L(g)=\int_{x_A}^{x_B}\sqrt{1+g'(x)^2}\,dx.}On note {\mathcal C} l’ensemble des fonctions de classe {\mathcal C^2} joignant {A} à {B} et {T=L} sur {\mathcal C}. On suppose que {T} admet un extremum en {y_0}.

IV — Le chemin le plus rapide est la cycloïde

L’énoncé considère un point soumis à la pesanteur, sans frottement, partant de {A} avec une vitesse nulle. Les points {A} et {B} ont des ordonnées {y_A,y_B>0}.

Il suppose qu’une fonction {y_0} de classe {\mathcal C^2}, strictement positive, minimise {T(y)=\int_{x_A}^{x_B}\sqrt{\frac{1+y'(x)^2}{y(x)}}\,dx}parmi les fonctions de classe {\mathcal C^2} vérifiant {y(x_A)=y_A}, {y(x_B)=y_B}, {y>0} et {y'(x)\lt 0} pour {x\in]x_A,x_B]}.

Pour simplifier, on suppose désormais {C=2}.

On pose {\theta(x)=2\operatorname{arccotan}(y_0'(x))}.

V — Une application à une structure optimale : la caténoïde

On considère deux cercles de l’espace, d’équations {y^2+z^2=1}, situés dans les plans {x=0} et {x=1}. Le sujet suppose qu’une fonction {y_0\in\mathcal C^2([0,1])} minimise {T(y)=2\pi\int_0^1y(x)\sqrt{1+y'(x)^2}\,dx}sur l’ensemble des fonctions de classe {\mathcal C^2} vérifiant {y(0)=y(1)=1}.

On suppose en outre, comme dans l’énoncé, que {y_0'(x)>0} et {c^2y_0(x)^2>1} pour tout {x\in[0,1]}.