2026-Inp-Pc-Corrigé

CCINP 2026 — PC — Mathématiques

Exercice 1 — Réduction de matrices par blocs

On fixe {n\geq1} et {A\in\mathcal M_n(\mathbb R)}. On étudie des matrices par blocs de la forme {\begin{pmatrix}\alpha A&\beta A\\[8pt]\gamma A&\delta A\end{pmatrix}}. Les opérations par blocs suivent les règles usuelles lorsque les tailles sont compatibles. On note {I_n} l’identité et {O_n} la matrice nulle.

I — Première forme

On pose {M=\begin{pmatrix}A&A\\[8pt]A&A\end{pmatrix}}.

I.1 — Un exemple

Dans les trois premières questions, {n=2} et {A=\operatorname{diag}(1,2)}.

I.2 — Réduction dans le cas général

On revient à {n,A} quelconques et on pose {P=\begin{pmatrix}I_n&I_n\\[8pt]-I_n&I_n\end{pmatrix}}.

II — Seconde forme

On pose désormais {M=\begin{pmatrix}A&A\\[8pt]O_n&A\end{pmatrix}}.

Jusqu’à la fin de l’exercice, on suppose {M} diagonalisable et on note {S} un polynôme annulateur de {M} scindé à racines simples sur {\mathbb R}.

Exercice 2 — Autour de la loi géométrique

On fixe {p\in]0,1[} et {q=1-p}. Les variables {(X_k)_{k\geq1}} sont indépendantes, de loi géométrique de paramètre {p} sur {\mathbb N^*}. On pose {S_n=\sum\limits_{k=1}^nX_k} et {V_n=\max(X_1,\ldots,X_n)}.

I — Loi de {S_n}

Pour {Y} à valeurs dans {\mathbb N}, on note {G_Y(t)=\mathbb E(t^Y)=\sum\limits_{k=0}^{+\infty}\mathbb P(Y=k)t^k}.

II — Loi de {V_n}

III — Équivalent de l’espérance de {V_n}

Pour {x\geq0}, on pose {\varphi_n(x)=1-(1-q^x)^n}.

On admet {\sum\limits_{k=1}^n1/k\sim\ln n}.

Exercice 3 — Une équation différentielle non ordinaire

Pour {\lambda\in[-1,1]}, on cherche les fonctions dérivables {f:\mathbb R\to\mathbb R} telles que {f'(x)=f(\lambda x)} pour tout réel {x}. On note {\mathcal S_\lambda} l’ensemble de ces solutions.

I — Généralités

II — Solutions développables en série entière

On suppose {\lambda\ne0}.

On note {\varphi} la somme de cette série entière sur {\mathbb R}.

Soit {f(x)=\sum\limits_{n=0}^{+\infty}a_nx^n} une série entière de rayon infini.

III — Toutes les solutions

On conserve {\lambda\ne0} et on prend {f\in\mathcal S_\lambda}.

On admet la formule de Taylor avec reste intégral : pour {h\in\mathcal C^\infty(\mathbb R)}, {h(x)=\sum_{k=0}^n\frac{h^{(k)}(0)}{k!}x^k+\int_0^x\frac{(x-t)^n}{n!}h^{(n+1)}(t)\,dt.}

On fixe {a>0}, {x\in[-a,a]} et {g_n(t)=(x-t)^nf^{(n+1)}(t)/n!}.