CCINP 2026 — MP — Mathématiques 2
Exercice 1
Soient {a,b\in\mathbb R}, avec {a\ne0}. On considère {A=\begin{pmatrix}a+b&a&a\\[8pt]a&a+b&a\\[8pt]a&a&a+b\end{pmatrix},\quad J=\begin{pmatrix}1&1&1\\[8pt]1&1&1\\[8pt]1&1&1\end{pmatrix}.}
Q 1. Quel est le rang de {J} ? Diagonaliser {J} sans calculer de déterminant. On ne demande pas de matrice de passage.
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Q 2. En déduire que {A} est semblable à une matrice diagonale que l’on précisera.
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Q 3. Justifier sans calculs que le polynôme minimal de {A} est {(X-b)(X-3a-b)}.
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On cherche les puissances de {A} par deux méthodes. On pose {\lambda=3a+b}.
Q 4. a) Déterminer le reste de la division euclidienne de {X^n} par {(X-b)(X-\lambda)}, puis en déduire {A^n}.
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Q 4. b) Calculer {J^k} pour {k\geq1}, puis utiliser {A=aJ+bI_3} pour exprimer {A^n} en fonction de {J} et {I_3}, sans signe somme.
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Exercice 2
Soit {n\geq1} et {P=a_0+a_1X+\cdots+a_{n-1}X^{n-1}} un polynôme réel de degré {n-1}. On note {\omega_k=e^{2i\pi k/n}} les racines {n}-ièmes de l’unité. On veut démontrer que le produit {P(\omega_1)\cdots P(\omega_{n-1})} est réel.
Q 5. Pour {j=e^{2i\pi/3}}, déterminer {1+j+j^2}. Choisir un polynôme de degré {2} à coefficients réels tous non nuls et différents, puis vérifier le résultat annoncé.
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Q 6. On considère la matrice cyclique
{J\in\mathcal M_n(\mathbb R)} dont les seuls coefficients non nuls sont
{J_{i,i+1}=1} pour
{1\leq i\lt n} et
{J_{n,1}=1}.
Démontrer que {\chi_J=X^n-1}.
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Q 7. Soit
{A} la matrice dont la première ligne est
{(a_0,a_1,\ldots,a_{n-1})}, chaque ligne suivante s’obtenant par décalage cyclique d’une case vers la droite.
Comparer {A} et {P(J)}.
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Q 8. Diagonaliser {J} dans {\mathcal M_n(\mathbb C)}, puis {A}. On ne demande pas de matrice de passage.
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Q 9. En déduire que {P(\omega_1)\cdots P(\omega_{n-1})} est réel.
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Problème
Soit {E} un espace préhilbertien réel et {F} un sous-espace de dimension finie. Le projeté orthogonal {p_F(x)} est l’unique vecteur de {F} tel que {x-p_F(x)\in F^\perp}.
Q 10. a) Si {(e_0,\ldots,e_n)} est une base orthonormale de {F}, démontrer que {p_F(x)=\sum\limits_{i=0}^n\langle x,e_i\rangle e_i}.
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Q 10. b) Démontrer que {\|p_F(x)\|^2\leq\|x\|^2} et que {\sum\limits_{i=0}^n\langle x,e_i\rangle^2\leq\|x\|^2}.
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On prend désormais {I=[0,+\infty[}, {F=\mathbb R_n[X]}, et {E} l’ensemble des fonctions continues réelles sur {I} telles que {t\mapsto f(t)^2e^{-t}} soit intégrable.
Q 11. Justifier que {ab\leq(a^2+b^2)/2} pour tous réels {a,b}. Montrer que, pour {f,g\in E}, la fonction {t\mapsto f(t)g(t)e^{-t}} est intégrable.
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Q 12. Démontrer que {E} est un espace vectoriel et que {\langle f,g\rangle=\int_0^{+\infty}f(t)g(t)e^{-t}\,dt} définit un produit scalaire sur {E}.
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Q 13. En identifiant les polynômes à leurs fonctions polynomiales, justifier que {F} est un sous-espace vectoriel de {E}.
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Pour {n\in\mathbb N}, on pose {h_n(x)=x^ne^{-x}} et {L_n(x)=\frac{e^x}{n!}h_n^{(n)}(x).}
Q 14. a) Calculer
{h_n^{(p)}(x)} pour
{0\leq p\leq n}.
Si {p\lt n}, que vaut {h_n^{(p)}(0)} ?
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Q 14. b) Démontrer que {L_n\in\mathbb R[X]}, puis préciser son degré et son coefficient dominant.
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Q 15. Pour {g\in\mathbb R[X]}, exprimer {\langle g,h_n^{(n)}\rangle} en fonction de {\int_0^{+\infty}g^{(n)}(t)h_n(t)\,dt}, puis exprimer {\langle g,L_n\rangle} en fonction de {\int_0^{+\infty}g^{(n)}(t)t^ne^{-t}\,dt}.
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Q 16. Pour {i\lt j}, déterminer {\langle L_i,L_j\rangle}.
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Q 17. Calculer par intégrations par parties {\int_0^{+\infty}t^ne^{-t}\,dt}, puis calculer {\langle L_n,L_n\rangle}.
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Q 18. Que conclure concernant la base {(L_0,\ldots,L_n)} de {F} ? Exprimer {p_F(g)} pour {g\in E}.
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Q 19. Démontrer que {\sum\limits_{n\geq0}\langle g,L_n\rangle^2} converge et majorer sa somme.
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Q 20. Pour
{\alpha>-1/2}, on pose
{g_\alpha(x)=e^{-\alpha x}}. Vérifier que, pour tout
{\alpha\in\mathbb R},
{g_\alpha\in E}.
Démontrer que {\sum\limits_{n=0}^{+\infty}\langle g_\alpha,L_n\rangle^2=\|g_\alpha\|^2}.
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