e3a — PSI — 2026
Exercice 1
Soit {n\geq2}. Questions préliminaires.
1. Écrire, sans la redémontrer, la formule de Taylor-Young à l’ordre 2 en {a\in\mathbb R^n} pour {f\in\mathcal C^2(\mathbb R^n)}.
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On note {J} la matrice dont tous les coefficients valent {1} et {I_n} la matrice identité.
2.1. Déterminer le rang de {J}.
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2.2. Justifier que {0} est valeur propre de {J}. Quel est son ordre de multiplicité ?
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2.3. Montrer que {I_n+J} est symétrique réelle définie positive.
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On considère {f(x_1,\ldots,x_n)=\sum_{k=1}^nx_k^2+\left(\sum_{k=1}^nx_k\right)^2-\sum_{k=1}^nx_k.}
3. Justifier que {f} est de classe {\mathcal C^2} sur {\mathbb R^n}.
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4.1. Calculer {\partial f/\partial x_1(m)}.
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4.2. Calculer {\displaystyle\frac{\partial^2f}{\partial x_2\partial x_1}(m)} et {\displaystyle\frac{\partial^2f}{\partial x_1\partial x_2}(m)}.
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4.3. Calculer {\displaystyle\frac{\partial^2f}{\partial x_1^2}(m)}.
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5. Déterminer {\nabla f(m)}.
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6. Déterminer l’unique point critique {a} de {f}.
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7.1. Déterminer la matrice hessienne {H_f(m)}.
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7.2. Déterminer son spectre.
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8. Montrer que {f} admet un extremum local en {a} ; préciser sa nature et sa valeur.
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Exercice 2
On considère {v_0\in[-1,1]} et {v_{n+1}=\ln(1-v_n/2)} lorsque cette expression est définie.
1. Étude de la suite.
1.1. Dresser le tableau de variations de {f:x\mapsto\ln(1-x/2)} sur {[-1,1]} et déterminer {[a,b]=f([-1,1])}.
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1.2. Justifier que {[a,b]\subset]-1,1[}.
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1.3. Montrer que, pour tout {n\geq1}, {v_n} est bien défini et appartient à {[a,b]}.
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1.4. Montrer qu’il existe {k\in]0,1[} tel que {|f'(x)|\leq k} sur {[a,b]}.
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1.5. Prouver que, pour {n\geq2}, {|v_n|\leq k|v_{n-1}|}.
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1.6. Démontrer la convergence de {(v_n)} et déterminer sa limite.
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2. Série de fonctions. Sur {[-1,1]}, on pose {u_0(x)=x} et {u_{n+1}(x)=\ln(1-u_n(x)/2)}.
2. Prouver que {\sum\limits_{n\geq1}u_n} converge uniformément sur {[-1,1]}.
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Exercice 3
Soit {n\geq3}, {E_n=\mathbb R_n[X]}, {P_k=X^k} et {\mathcal B=(P_0,\ldots,P_n)}. On identifie polynômes et fonctions associées. On pose {\Phi(P)\!=\!((X^2\!-\!1)P)''\!=\!(X^2\!-\!1)P''\!+\!4XP'\!+\!2P}
1. Vérifier que {\Phi} est un endomorphisme de {E_n}.
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2. Calculer {\Phi(P_k)} pour {0\leq k\leq n}.
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3. Déterminer la matrice {M} de {\Phi} dans {\mathcal B}, en explicitant les trois premières colonnes et la colonne {j}, {3\leq j\leq n+1}.
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4. Montrer que {\Phi} admet {n+1} valeurs propres distinctes {\lambda_0\lt \cdots\lt \lambda_n}.
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5. {\Phi} est-il un automorphisme ?
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6. Justifier que {\Phi} est diagonalisable et déterminer la dimension des sous-espaces propres.
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7.1. Si {T} est un vecteur propre associé à {\lambda_k}, montrer que {\deg T=k}.
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7.2. Montrer que {Q(X)=T(-X)} est également propre pour {\lambda_k}.
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8. Montrer qu’il existe une unique base propre {(Q_0,\ldots,Q_n)} telle que {Q_k} soit unitaire de degré {k} et {Q_k(-X)=(-1)^kQ_k(X)}.
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9. Que peut-on en déduire sur la parité des {Q_k} ?
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10. Justifier que {(Q_0,\ldots,Q_k)} est une base de {\mathbb R_k[X]}.
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11. Calculer {Q_0,Q_1,Q_2,Q_3}.
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12. Montrer que {(P\mid Q)=\int_{-1}^1(1-t^2)P(t)Q(t)\,dt} définit un produit scalaire.
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On munit désormais {E_n} de ce produit scalaire.
13.1. Montrer que {\Phi} est symétrique ; on pourra intégrer par parties.
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13.2. Montrer que la base {(Q_0,\ldots,Q_n)} est orthogonale.
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14. Pour {1\leq j\leq n}, montrer que tout {S\in\mathbb R_{j-1}[X]} vérifie {(S\mid Q_j)=0}.
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Exercice 4
Questions préliminaires.
1. Montrer qu’un polynôme réel de degré impair possède une racine réelle.
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2. Déterminer les racines complexes de {X^{11}-1}.
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3. En déduire les racines de {1+X+\cdots+X^{10}} et justifier qu’aucune n’est réelle.
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Les variables {U,V} correspondent à deux lancers indépendants de dés à six faces, éventuellement biaisés. Toutes les faces ont une probabilité strictement positive. On pose {S=U+V}.
4. Déterminer les valeurs prises par {U,V,S}.
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On suppose désormais que {S} suit une loi uniforme.
5. Déterminer sa fonction génératrice {G_S}.
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6. Déterminer les racines complexes de {G_S}.
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7. Déterminer {Q,R} tels que {G_U(t)=tQ(t)} et {G_V(t)=tR(t)}.
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8. Montrer que {Q,R} possèdent chacun une racine réelle.
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9. Montrer que {G_S(t)=t^2Q(t)R(t)} pour tout réel {t}.
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10. Établir une contradiction montrant que {S} n’est pas uniforme.
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11. Peut-on truquer deux dés à six faces pour que la somme des résultats suive une loi uniforme ?
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