2026-E3A-Pc-Corrigé

e3a–Polytech 2026 — PC — Mathématiques

Le sujet comporte trois exercices indépendants.

Exercice 1 — Questions préliminaires

Soit {g} un endomorphisme d’un espace vectoriel réel {H}.

On munit {E=\mathbb R^5} de son produit scalaire usuel. Dans la base canonique orthonormée, l’endomorphisme {f} a pour matrice {M=\begin{pmatrix}0&-1&0&0&0\\[8pt]1&0&-1&0&0\\[8pt]0&1&0&-1&0\\[8pt]0&0&1&0&-1\\[8pt]0&0&0&1&0\end{pmatrix}.}5. Premières propriétés

6. Éléments propres de {f}

On admet désormais que les valeurs propres distinctes de {f^2} sont {0,-1,-3}.

Soient {\lambda\ne0} une valeur propre de {f^2} et {x} un vecteur propre associé.

Exercice 2 — Questions préliminaires

5. Premier exemple

On pose {f_n(t)=t^n} et {F_n=T(f_n)}. On fixe {x>0}.

6. Deuxième exemple

On pose {g(t)=e^t} sur {[0,1]} et {G(x)=T(g)(x)=\int_0^1e^t/(x+t)\,dt}.

On pose, lorsque ces intégrales existent, {J(x)=\int_0^x(e^t-1)/t\,dt} et {K(x)=\int_0^xe^t/(1+t)\,dt}.

Exercice 3

La variable aléatoire {X} prend ses valeurs dans {\{1,2,3\}}, avec {p_k=\mathbb P(X=k)\in[0,1]} et {p_1+p_2+p_3=1}. On cherche les extrema de sa variance.

On pose {f(x,y)=4x+y-4x^2-y^2-4xy} et {T=\{(x,y)\in[0,1]^2:x+y\leq1\}}.