2026-E3A-MpI-Corrigé

e3a–Polytech — MPI — 2026 — Mathématiques

Le sujet comporte trois exercices indépendants.

Exercice 1 — Questions préliminaires

Soit {n\geq2}.

Soit {p\geq2}, et {J\in\mathcal M_p(\mathbb R)} la matrice dont tous les coefficients valent {1}.

On fixe {n\geq2} et {r\geq3}. Une épreuve a {r} résultats possibles {\alpha_j}, de probabilités {x_j\in]0,1[}, avec {\sum\limits_jx_j=1}. On effectue {n} épreuves indépendantes.

La variable {X_j} vaut {1} si le résultat {\alpha_j} n’est jamais apparu, et {0} sinon. On note {X} le nombre de résultats qui ne sont pas apparus.

On cherche les probabilités minimisant cette espérance. On élimine {x_r=1-\sum\limits_{j=1}^{r-1}x_j} et on pose {U=\left\{(x_1,\ldots,x_{r-1}):x_j>0,\ \sum_{j=1}^{r-1}x_j\lt 1\right\}.}

Exercice 2 — Questions de cours

Pour {x\in\mathbb R\setminus\mathbb Z}, on définit, sous réserve d’existence, {E_1(x)=\frac1x+\sum_{n=1}^{+\infty}\left(\frac1{x-n}+\frac1{x+n}\right),}et, pour {k\geq2}, {E_k(x)=\frac1{x^k}+\sum_{n=1}^{+\infty}\frac1{(x-n)^k}+\sum_{n=1}^{+\infty}\frac1{(x+n)^k}.}

Exercice 3

Soit {n\geq3}, {\mathbb K=\mathbb R} ou {\mathbb C}, et {a_1\ne0}. On considère {M=\begin{pmatrix}0&\cdots&0&a_1\\[8pt]\vdots&&\vdots&\vdots\\[8pt]0&\cdots&0&a_{n-1}\\[8pt]a_1&\cdots&a_{n-1}&a_n\end{pmatrix}.}

1. Cas réel

2. Cas complexe