e3a–Polytech — MP — 2026 — Mathématiques
Le sujet comporte trois exercices indépendants.
Exercice 1
Soit {n\geq5}. On identifie les polynômes complexes de degré au plus {n-1} à leurs fonctions polynomiales. Sur {\mathbb C_{n-1}[X]}, on pose {u(P)(X)=P(X+1)}. La puissance zéro d’un endomorphisme désigne l’identité.
1. Étude de {u}.
1. a) Vérifier que {u} est un endomorphisme de {\mathbb C_{n-1}[X]}.
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1. b) Dans la base canonique {\mathcal B=(P_0,\ldots,P_{n-1})}, où {P_j=X^j}, exprimer {u(P_j)}.
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1. c) Déterminer la matrice {M} de {u} dans {\mathcal B}, en explicitant les deux premières colonnes et la {k}-ième pour {3\leq k\leq n-2}.
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1. d) Déterminer {\chi_u}.
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1. e) L’endomorphisme {u} est-il diagonalisable ?
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1. f) Justifier que {u} est un automorphisme et préciser son inverse.
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1. g) Déterminer {M^{-1}}.
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1. h) Déterminer {u^k} pour {k\in\mathbb N}.
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2. On note {\Delta=u-\operatorname{id}}.
2. a) Montrer que {\Delta} est nilpotent et que {\Delta^n=0}.
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2. b) L’endomorphisme {\Delta} est-il diagonalisable ?
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3. Déterminer des entiers {a_0,\ldots,a_{n-1}} tels que {P(X+n)+\sum\limits_{k=0}^{n-1}a_kP(X+k)=0} pour tout {P\in\mathbb C_{n-1}[X]}.
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Exercice 2
On fixe {a\in\mathbb R} et on rappelle {\zeta(s)=\sum\limits_{n=1}^{+\infty}n^{-s}} pour {s>1}, ainsi que {\zeta(2)=\pi^2/6}.
1. Justifier la convergence de {\sum\limits_{n\geq1}1/(n^2+a^2)}.
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2. Justifier l’existence de {\int_0^{+\infty}\sin(at)/(e^t-1)\,dt}.
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3. Montrer que {(e^t-1)^{-1}=\sum\limits_{k=1}^{+\infty}e^{-kt}} pour {t>0}.
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4. Montrer que {\int_0^{+\infty}\sin(at)e^{-kt}\,dt=a/(a^2+k^2)} pour {k\geq1}.
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5. Démontrer {\int_0^{+\infty}\frac{\sin(at)}{e^t-1}\,dt=a\sum_{k=1}^{+\infty}\frac1{a^2+k^2},}en justifiant le théorème utilisé.
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6. Déterminer {\lim\limits_{a\to0}\sum\limits_{k=1}^{+\infty}1/(a^2+k^2)} en précisant le théorème utilisé.
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On pose {H(a)=\int_0^{+\infty}\sin(at)/(e^t-1)\,dt}.
7. a) Pour {|a|\lt 1} et {k\geq1}, montrer que {\frac1{a^2+k^2}=\frac1{k^2}\sum_{n=0}^{+\infty}(-1)^n\left(\frac ak\right)^{2n}.}
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7. b) Démontrer que {H(a)=\sum\limits_{n=0}^{+\infty}(-1)^n\zeta(2n+2)a^{2n+1}} pour {|a|\lt 1}.
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7. c) Montrer que {H} est de classe {\mathcal C^\infty} sur {]-1,1[}.
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7. d) Déterminer {H^{(p)}(0)} pour tout {p\in\mathbb N}.
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8. Montrer que {\int_0^1\ln t/(t-1)\,dt} converge.
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9. Pour {p\in\mathbb N}, montrer que {I_p=\int_0^1t^p\ln t\,dt} converge.
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10. Calculer {I_p}.
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11. Prouver que {\int_0^1\ln t/(t-1)\,dt=\sum\limits_{p=1}^{+\infty}1/p^2}, en justifiant le théorème utilisé.
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12. Déterminer enfin la valeur de cette intégrale.
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Exercice 3
Question de cours.
1. Pour {a\ne0} et {n\geq1}, donner les développements limités en zéro de {e^{at}} à l’ordre {n} et de {\ln(1+at)} à l’ordre deux.
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Soit {X} une variable aléatoire finie à valeurs dans {\mathbb R_+}, de valeurs distinctes {0\leq x_1\lt \cdots\lt x_k} et de probabilités {p_i>0}. On pose, pour {t\ne0}, {\Phi_X(t)=\frac1t\ln\left(\sum_{i=1}^kp_ie^{x_it}\right).}La somme dans le logarithme est strictement positive.
2. a) Déterminer {\Phi_X} si {X} est certaine.
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On considère {Z} telle que {\mathbb P(Z=0)=\mathbb P(Z=1)=1/2}.
2. b) i. Déterminer {\Phi_Z(t)} pour {t\ne0}.
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2. b) ii. Montrer que {\Phi_Z} se prolonge en une fonction dérivable sur {\mathbb R}.
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Dans la suite de la question 3, on suppose {k\geq2}.
3. a) Donner un développement limité de {\Phi_X} à l’ordre un en zéro.
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3. b) Montrer que {\Phi_X} se prolonge en une fonction {\widetilde\Phi_X} dérivable sur {\mathbb R}.
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3. c) Montrer que {\widetilde\Phi_X(0)=\mathbb E(X)}.
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3. d) Reconnaître {\widetilde\Phi_X'(0)}.
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3. e) Déterminer les limites de {\widetilde\Phi_X} en {+\infty} et {-\infty}.
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3. f) La fonction {\widetilde\Phi_X} peut-elle être impaire ?
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4. Pour {t\ne0}, relier {\Phi_X(t)} à {\mathbb E(e^{tX})}.
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5. Pour deux variables finies indépendantes {X,Y} à valeurs dans {\mathbb R_+}, relier {\Phi_{X+Y}}, {\Phi_X} et {\Phi_Y}.
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