2026-CNM-Mp2-Corrigé

Concours national commun — MP — 2026 — Mathématiques II

Exercice

Soit {E} un espace euclidien de dimension {n\geq2}, de produit scalaire {\langle\cdot\mid\cdot\rangle}. Pour {u\ne0}, on définit {\varphi_u(x)=2\frac{\langle x\mid u\rangle}{\langle u\mid u\rangle}u-x.}

1.1. Étude de {\varphi_u}

1.2. Exemple dans {\mathbb R^3}

On considère le plan {H=\{(x,y,z):x+y+z=0\}} dans l’espace euclidien canonique.

1.3. Réciproque

Soit {\psi\in\mathcal L(E)} et une droite {\Delta} tels que {\psi(x)=x} sur {\Delta} et {\psi(x)=-x} sur {\Delta^\perp}.

Problème — L’endomorphisme {\Phi_{A,B}}

On fixe {n\geq2}, {\mathbb K=\mathbb R} ou {\mathbb C}, et {E=\mathcal M_n(\mathbb K)}. La transposée est notée {A^T}, la trace {\operatorname{tr}A}, le spectre {\operatorname{Sp}_{\mathbb K}(A)} et le polynôme caractéristique {\chi_A}. Une matrice est nilpotente si une de ses puissances d’exposant strictement positif est nulle.

On note {\mathcal B_c=(E_{ij})} la base canonique. Pour {A,B\in E}, on définit {\Phi_{A,B}(M)=AM-MB} et {\Phi_A=\Phi_{A,A}}.

Première partie — Exemples

1.2. On se place dans {\mathcal M_2(\mathbb R)} et on écrit {A=\begin{pmatrix}a&b\\[8pt]c&d\end{pmatrix}}.

Dans la suite de la question 1.2, on suppose {A} non scalaire, donc {\Phi_A\ne0}.

1.3. On suppose {A\in\mathcal M_n(\mathbb R)}, {A^2=A}, {A\ne0} et {A\ne I_n}.

Deuxième partie — Spectre de {\Phi_{A,B}}

On revient à {\mathbb K=\mathbb R} ou {\mathbb C}.

Soit {M\ne0} tel que {\Phi_{A,B}(M)=\alpha M}.

Dans la suite de cette partie, on suppose {\mathbb K=\mathbb C}.

Troisième partie — Diagonalisation

On suppose d’abord {A,B} diagonalisables sur {\mathbb K}. On choisit des bases propres {(X_1,\ldots,X_n)} de {A} et {(Y_1,\ldots,Y_n)} de {B^T}.

On suppose désormais {A,B} réelles et {\Phi_{A,B}} diagonalisable sur {\mathcal M_n(\mathbb R)}. On considère aussi son extension aux matrices complexes.

On note {T} l’application de transposition {M\mapsto M^T}.

Quatrième partie — Multiplications à gauche et à droite

Soit {F} un espace de dimension finie sur {\mathbb K}, et {u,v\in\mathcal L(F)} diagonalisables avec {uv=vu}. Pour une valeur propre {\lambda} de {u}, on note {F_\lambda=\ker(u-\lambda\operatorname{id})}.

Sur {E=\mathcal M_n(\mathbb K)}, on pose {g_A(M)=AM} et {d_B(M)=MB}.

Cinquième partie — Adjoint de {\Phi_{A,B}}

Dans cette partie, {\mathbb K=\mathbb R}.