2026-Centrale-Pc2-Corrigé

Centrale 2026 — PC — Mathématiques 2

Introduction aux distributions

Pour une fonction bornée, on note {\|f\|_\infty=\sup\limits_{x\in\mathbb R}|f(x)|}. L’espace {\mathcal D(\mathbb R)} est constitué des fonctions réelles de classe {\mathcal C^\infty} à support compact : pour chacune, il existe {A>0} tel que {f(x)=0} lorsque {|x|>A}.

Partie A — Construction d’une fonction test

On pose {\varphi(x)=e^{-1/x}} pour {x>0}, et {\varphi(x)=0} pour {x\leq0}.

Pour {\varepsilon>0}, on pose {\rho_\varepsilon(x)=\frac{\psi_{-1,1}(x/\varepsilon)}{\varepsilon\int_{\mathbb R}\psi_{-1,1}(u)\,du}.}

Partie B — Distributions sur {\mathbb R}

Pour un segment {K}, on note {\mathcal D(K)} les fonctions tests nulles hors de {K}. Une distribution est une forme linéaire {T} sur {\mathcal D(\mathbb R)} telle que, pour chaque segment {K}, il existe {C_K>0} et {N_K\in\mathbb N} vérifiant {|T(\phi)|\leq C_K\max_{0\leq i\leq N_K}\|\phi^{(i)}\|_\infty\quad(\phi\in\mathcal D(K)).}On note {\mathcal D'(\mathbb R)} l’ensemble des distributions.

Pour {\phi\in\mathcal D(\mathbb R)}, on pose {\psi(x)=(\phi(x)-\phi(0))/x} si {x\ne0}, et {\psi(0)=\phi'(0)}.

Partie C — Dérivation d’une distribution

Pour {T\in\mathcal D'(\mathbb R)}, on définit {T'(\phi)=-T(\phi')}.

Soit {T\in\mathcal D'(\mathbb R)} telle que {T'=0}.

Pour une distribution {T\in\mathcal D'(\mathbb R)}, on définit {T''=(T')'}. Dans la phrase correspondante du sujet, {\mathcal D(\mathbb R)} doit donc être lu {\mathcal D'(\mathbb R)}.

Soient {f,g} continues sur {\mathbb R} et telles que {T_f'=T_g}.

Partie D — Suites de distributions

On dit que {T_n} converge vers {T} au sens des distributions si {T_n(\phi)\to T(\phi)} pour toute {\phi\in\mathcal D(\mathbb R)}.

La convergence en norme {2} de {f_n} vers {f} signifie que {(f_n-f)^2} est intégrable et que {\|f_n-f\|_2=(\int_{\mathbb R}(f_n-f)^2)^{1/2}\to0}.

Partie E — Théorème d’unicité de Cantor

Soient {(a_n)_{n\geq1}} et {(b_n)_{n\geq1}} deux suites réelles telles que la série {\sum\limits_{n\geq1}(a_n\cos(nx)+b_n\sin(nx))} converge vers zéro pour tout réel {x}.

On suppose, pour raisonner par l’absurde, que {(b_n)} ne converge pas vers zéro.

On revient au cas général, sans supposer la sommabilité absolue des coefficients. On pose {f_n(x)=a_n\cos(nx)/n^2+b_n\sin(nx)/n^2}.